Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 3 x - 9$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} + 3 x - 9) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 9]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 9]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 3.6

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3 + 0)$

Etapa 3.7

Some $2 x + 3$ e $0$ .

$(x^{2} + 3 x - 9) e^{x} + e^{x} (2 x + 3)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} e^{x} + 3 x e^{x} - 9 e^{x} + e^{x} (2 x + 3)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} e^{x} + 3 x e^{x} - 9 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot 3$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 3 x e^{x} - 9 e^{x} + e^{x} (2 x) + 3 \cdot e^{x}$

Etapa 4.3.2

Some $3 x e^{x}$ e $e^{x} (2 x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Mova $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 e^{x} + 3 e^{x}$

Etapa 4.3.2.2

Some $3 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 9 e^{x} + 3 e^{x}$

Etapa 4.3.3

Some $- 9 e^{x}$ e $3 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 6 e^{x}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$e^{x} x^{2} + 5 e^{x} x - 6 e^{x}$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 5 e^{x} x - 6 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 6 e^{x}$