Cálculo Exemplos

$r (t) = (t + e^{t}) (4 - \sqrt{t})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [(t + e^{t}) (4 - t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t + e^{t}$ e $g (t) = 4 - t^{\frac{1}{2}}$ .

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [4 - t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$(t + e^{t}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 8.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 8.2.2

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + e^{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10.2

Combine os termos.

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Etapa 10.2.1

Combine $t$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10.2.2

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10.2.3

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.2.3.1

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 10.2.3.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10.2.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10.2.4

Combine $e^{t}$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Etapa 10.2.5

Para escrever $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.6

Combine $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + 2 (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$