Cálculo Exemplos

$\ln (\sin (t^{2}))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = \sin (t^{2})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (t^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (t^{2})$ .

$\frac{1}{\sin (t^{2})} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Etapa 2

Converta de $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ em $\csc (t^{2})$ .

$\csc (t^{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$ .

$2 t \cos (t^{2}) \csc (t^{2})$

Etapa 5.2

Reescreva $\csc (t^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$

Etapa 5.3

Multiplique $2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

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Etapa 5.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

$t \cos (t^{2}) \frac{2}{\sin (t^{2})}$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{2}{\sin (t^{2})}$ e $t$ .

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})} \cos (t^{2})$

Etapa 5.3.3

Combine $\frac{2 t}{\sin (t^{2})}$ e $\cos (t^{2})$ .

$\frac{2 t \cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Etapa 5.4

Separe as frações.

$\frac{2 t}{1} \cdot \frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Etapa 5.5

Converta de $\frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$ em $\cot (t^{2})$ .

$\frac{2 t}{1} \cot (t^{2})$

Etapa 5.6

Divida $2 t$ por $1$ .

$2 t \cot (t^{2})$