Cálculo Exemplos

$t \sqrt{10 - 2 t}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10 - 2 t}$ como ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 10 - 2 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $10 - 2 t$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 - 2 t$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 8.3

Mova ${(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 - 2 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 10

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 11

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 2 t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 12

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2 t$ em relação a $t$ é $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d t} [t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 13

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Combine $- 2$ e $\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 13.2

Fatore $2$ de $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t)}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 14

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Fatore $2$ de $2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t)}{2 ({(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- t)}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 17

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 19

Multiplique ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 20

Para escrever ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Multiplique ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{2}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{1}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique ${(10 - 2 t)}^{1}$ .

$\frac{- t + 10 - 2 t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24

Subtraia $2 t$ de $- t$ .

$\frac{- 3 t + 10}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 25

Reordene os termos.

$\frac{- 3 t + 10}{{(- 2 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}$