Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 12 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $6 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 12 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Etapa 2.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$6 x = 12$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $6 x = 12$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $6 x = 12$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $12$ por $6$ .

$x = 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $2$ .

$2$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 6 x - 12$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 6 (1) - 12$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$f' (1) = 6 - 12$

Etapa 5.2.2

Subtraia $12$ de $6$ .

$f' (1) = - 6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 5.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 6$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 2)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 6 (3) - 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$f' (3) = 18 - 12$

Etapa 6.2.2

Subtraia $12$ de $18$ .

$f' (3) = 6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 6.3

Em $x = 3$ , a derivada é $6$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(2, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 2)$

Etapa 8