Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[3]{t} + 2 \sqrt{t^{3}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt[3]{t} + 2 \sqrt{t^{3}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t^{3}}$ como $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{\frac{3}{2}}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 3.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.8

Combine $\frac{3}{2}$ e $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.9

Combine $2$ e $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 3.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.11

Fatore $2$ de $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 3.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.12.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 3.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 3.12.4

Divida $3 t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$