Cálculo Exemplos

$y = t e^{- t}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- t}$ .

$t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- t$ .

$t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$t (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t$ .

$t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- t}$ .

$t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $e^{- t}$ por $1$ .

$t (- e^{- t}) + e^{- t}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$- e^{- t} t + e^{- t}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $- e^{- t} t + e^{- t}$ .

$- t e^{- t} + e^{- t}$