Cálculo Exemplos

$y = 4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$ .

$4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = e^{4 t} - e^{t}$ .

$4 (e^{t} \frac{d}{d t} [e^{4 t} - e^{t}] + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 t} - e^{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ .

$4 (e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 4 t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 t$ .

$4 (e^{t} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (e^{t} (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 t$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 (e^{t} (e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 5.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 t}$ .

$4 (e^{t} (4 \cdot e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- e^{t}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - \frac{d}{d t} [e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + e^{4 t} e^{t} - e^{t} e^{t})$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t})) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4

Combine os termos.

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Etapa 8.4.1

Multiplique $e^{t}$ por $e^{4 t}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.1

Mova $e^{4 t}$ .

$4 (e^{4 t} e^{t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (e^{4 t + t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.1.3

Some $4 t$ e $t$ .

$4 (e^{5 t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.2

Mova $4$ para a esquerda de $e^{5 t}$ .

$4 (4 \cdot e^{5 t}) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.4

Multiplique $e^{t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.4.1

Mova $e^{t}$ .

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} e^{t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t + t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.4.3

Some $t$ e $t$ .

$16 e^{5 t} + 4 (e^{2 t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{2 t}$ .

$16 e^{5 t} + 4 (- 1 \cdot e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.6

Reescreva $- 1 e^{2 t}$ como $- e^{2 t}$ .

$16 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.8

Multiplique $e^{4 t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.8.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{4 t + t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.8.2

Some $4 t$ e $t$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

Etapa 8.4.9

Multiplique $e^{t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.9.1

Mova $e^{t}$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- (e^{t} e^{t}))$

Etapa 8.4.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t + t})$

Etapa 8.4.9.3

Some $t$ e $t$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t})$

Etapa 8.4.10

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} - 4 e^{2 t}$

Etapa 8.4.11

Some $16 e^{5 t}$ e $4 e^{5 t}$ .

$20 e^{5 t} - 4 e^{2 t} - 4 e^{2 t}$

Etapa 8.4.12

Subtraia $4 e^{2 t}$ de $- 4 e^{2 t}$ .

$20 e^{5 t} - 8 e^{2 t}$