Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 1 + \cos^{2} (7 t)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ e $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Etapa 3.2.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 3.2.3.1

Fatore $3$ de $3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ .

$\frac{3 ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Etapa 3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Etapa 3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Etapa 3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos^{2} (7 t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Etapa 3.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \cos (7 t)$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 \cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine $2$ e $\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Etapa 5.2

Combine $\cos (7 t)$ e $\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (7 t) (2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Etapa 5.3

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (7 t)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Etapa 5.4.2

Divida $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ por $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 7 t$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d t} [7 t])$

Etapa 6.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d t} [7 t])$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t])$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7 t$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 7.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \cdot 1)$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$

Etapa 7.4.2

Reordene os fatores de $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$ .

$- 7 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cos (7 t) \sin (7 t)$