Cálculo Exemplos

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

Como $\frac{c}{b - a}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ em relação a $t$ é $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- a t} - e^{- b t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - a t$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $- a$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- a t$ em relação a $t$ é $- a \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- e^{- b t}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - b t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- b$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- b t$ em relação a $t$ é $- b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.2

Multiplique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.2.2

Multiplique $e^{- b t}$ por $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

Etapa 5.4

Multiplique $b$ por $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os fatores de $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ .

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Etapa 6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Etapa 6.3

Multiplique $- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ por $\frac{c}{b - a}$ .

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Etapa 6.4

Fatore $- 1$ de $- e^{- a t} a$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Etapa 6.5

Fatore $- 1$ de $e^{- b t} b$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

Etapa 6.6

Fatore $- 1$ de $- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ .

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Etapa 6.7

Reescreva $- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ como $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ .

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Etapa 6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Etapa 6.9

Reordene os fatores em $- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ .

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$