Cálculo Exemplos

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 t^{2} - 4 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 t^{2} - 4 t$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 t^{2} - 4 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t^{2}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Etapa 2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4 t$ em relação a $t$ é $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

Etapa 2.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ .

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

Etapa 3.4

Expanda $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Etapa 3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.2.1

Mova $t^{2}$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

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Etapa 3.5.1.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $10$ por $10$ .

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.5.1

Mova $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.5.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.6

Multiplique $10$ por $- 8$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.7

Multiplique $10$ por $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

Etapa 3.5.1.8

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

Etapa 3.5.2

Subtraia $40 t^{2}$ de $- 80 t^{2}$ .

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$