Cálculo Exemplos

$y = \arcsin (\frac{3}{t^{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \arcsin (t)$ e $g (t) = \frac{3}{t^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arcsin (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{3}{t^{2}}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} (3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}])$

Etapa 2.2

Combine frações.

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Etapa 2.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $\frac{1}{t^{2}}$ como ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [t^{- 2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} (- 2 t^{- 3})$

Etapa 2.4

Combine frações.

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Etapa 2.4.1

Combine $- 2$ e $\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} t^{- 3}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} t^{- 3}$

Etapa 2.4.3

Combine $\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ e $t^{- 3}$ .

$\frac{- 6 t^{- 3}}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.4.1

Mova $t^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}} t^{3}}$

Etapa 2.4.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}} t^{3}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{t^{2}}$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3^{2}}{{(t^{2})}^{2}}} t^{3}}$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{{(t^{2})}^{2}}} t^{3}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{t^{2 \cdot 2}}} t^{3}}$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{t^{4}}} t^{3}}$