Cálculo Exemplos

$y = arcsec (\frac{1}{9 t^{4}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = arcsec (t)$ e $g (t) = \frac{1}{9 t^{4}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $arcsec (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9 t^{4}} \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Etapa 2

Combine $\frac{1}{9 t^{4}}$ e $\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}$ .

$1 \frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Etapa 4

Multiplique $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ por $1$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Etapa 5

Como $\frac{1}{9}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{1}{9 t^{4}}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}])$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Etapa 6.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.3.1

Reescreva $\frac{1}{t^{4}}$ como ${(t^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [{(t^{4})}^{- 1}]$

Etapa 6.3.2

Multiplique os expoentes em ${(t^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{4 \cdot - 1}]$

Etapa 6.3.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (- 4 t^{- 5})$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Combine $- 4$ e $\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} t^{- 5}$

Etapa 8.2

Combine $\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ e $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 t^{4} t^{- 5}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Etapa 9

Multiplique $t^{4}$ por $t^{- 5}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.1

Mova $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 (t^{- 5} t^{4})}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Etapa 9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 4 t^{- 5 + 4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Etapa 9.3

Some $- 5$ e $4$ .

$\frac{- 4 t^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Etapa 10

Mova $t^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{{(9 t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Etapa 12.2

Aplique a regra do produto a $9 t^{4}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Etapa 12.3

Combine os termos.

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Etapa 12.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Etapa 12.3.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Etapa 12.3.3

Multiplique os expoentes em ${(t^{4})}^{2}$ .

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Etapa 12.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{4 \cdot 2}} - 1} t}$

Etapa 12.3.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{8}} - 1} t}$