Cálculo Exemplos

$y = \frac{\cos (t^{4})}{\tan (4 t)}$

Etapa 1

Reescreva $\tan (4 t)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d}{d t} [\frac{\cos (t^{4})}{\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{\cos (t^{4}) \cos (4 t)}{\sin (4 t)}]$

Etapa 3

Converta de $\frac{\cos (t^{4}) \cos (4 t)}{\sin (4 t)}$ em $\cos (t^{4}) \cot (4 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t^{4}) \cot (4 t)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = \cos (t^{4})$ e $g (t) = \cot (4 t)$ .

$\cos (t^{4}) \frac{d}{d t} [\cot (4 t)] + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cot (t)$ e $g (t) = 4 t$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 t$ .

$\cos (t^{4}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Etapa 5.2

A derivada de $\cot (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$\cos (t^{4}) (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 t$ .

$\cos (t^{4}) (- \csc^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (t^{4}) (- \csc^{2} (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Etapa 6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t) \cdot 1) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Etapa 6.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = t^{4}$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t^{4}$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 7.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t^{4}$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- \sin (t^{4}) \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 8.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- \sin (t^{4}) (4 t^{3}))$

Etapa 8.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- 4 \sin (t^{4}) t^{3})$

Etapa 8.2.2

Reordene os termos.

$- 4 \csc^{2} (4 t) \cos (t^{4}) - 4 t^{3} \cot (4 t) \sin (t^{4})$