Cálculo Exemplos

$y = (t^{2} + 3) e^{t}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2} + 3$ e $g (t) = e^{t}$ .

$(t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(t^{2} + 3) e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$(t^{2} + 3) e^{t} + e^{t} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(t^{2} + 3) e^{t} + e^{t} (2 t + \frac{d}{d t} [3])$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$(t^{2} + 3) e^{t} + e^{t} (2 t + 0)$

Etapa 3.4

Some $2 t$ e $0$ .

$(t^{2} + 3) e^{t} + e^{t} (2 t)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{2} e^{t} + 3 e^{t} + e^{t} (2 t)$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$e^{t} t^{2} + 2 e^{t} t + 3 e^{t}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores em $e^{t} t^{2} + 2 e^{t} t + 3 e^{t}$ .

$t^{2} e^{t} + 2 t e^{t} + 3 e^{t}$