Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 t - 7}{t^{2} + 5 t - 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = 3 t - 7$ e $g (t) = t^{2} + 5 t - 4$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \frac{d}{d t} [3 t - 7] - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t - 7$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + 0) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \cdot 3 - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $t^{2} + 5 t - 4$ .

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 5 t - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.11

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.12

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + 0)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 2.13

Some $2 t + 5$ e $0$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.3.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t + 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Expanda $(- 3 t + 7) (2 t + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t + 5) + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.5.1.2.1

Mova $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5.1.4

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5.1.5

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5.1.6

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5.2

Some $- 15 t$ e $14 t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 12 - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $t$ de $15 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t - 12 + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Some $- 12$ e $35$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{- (3 t^{2}) + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $- 1$ de $14 t$ .

$\frac{- (3 t^{2}) - (- 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- (3 t^{2}) - (- 14 t)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.7

Reescreva $23$ como $- 1 (- 23)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.9

Reescreva $- (3 t^{2} - 14 t - 23)$ como $- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)$ .

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 t^{2} - 14 t - 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$