Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{u^{2} + u}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{u^{2} + u}$ como ${(u^{2} + u)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ é $f' (g (u)) g' (u)$ , em que $f (u) = u^{- 1}$ e $g (u) = u^{2} + u$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $u^{2} + u$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $u^{2} + u$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u^{2} + u$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} (2 u + \frac{d}{d u} [u])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} (2 u + 1)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}} (2 u + 1)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}} (2 u + 1)$ .

$- (2 u + 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 u) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 u - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.6.1

Fatore $u$ de $u^{2} + u$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $u$ de $u^{2}$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u \cdot u + u)}^{2}}$

Etapa 4.6.1.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}$

Etapa 4.6.1.3

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}$

Etapa 4.6.1.4

Fatore $u$ de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u (u + 1))}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Aplique a regra do produto a $u (u + 1)$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Etapa 4.7

Multiplique $- 2 u - 1$ por $\frac{1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 u - 1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- 2 u$ .

$\frac{- (2 u) - 1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Etapa 4.9

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 u) - 1 (1)}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Etapa 4.10

Fatore $- 1$ de $- (2 u) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Etapa 4.11

Reescreva $- (2 u + 1)$ como $- 1 (2 u + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Etapa 4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 u + 1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$