Cálculo Exemplos

$e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 1

Escreva $e^{4 x} + e^{- x}$ como uma função.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 2.1.1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 2.1.1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 e^{4 x} - e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{4 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.1.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2.6

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.2.7

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.1.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.1.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.1.2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 2.1.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 2.1.2.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 2.1.2.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

Etapa 2.1.2.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Etapa 2.1.2.3.9

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $16 e^{4 x} + e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

Etapa 2.2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

Nenhuma solução

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

O gráfico tem concavidade para cima porque a segunda derivada é positiva.

O gráfico tem concavidade para cima

Etapa 5