Cálculo Exemplos

$y = t \ln^{2} (t)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = \ln^{2} (t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)] + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \ln (t)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (t)$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (t)$ .

$t (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3

A derivada de $\ln (t)$ em relação a $t$ é $\frac{1}{t}$ .

$t (2 \ln (t) \frac{1}{t}) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{t}$ e $2$ .

$t (\frac{2}{t} \ln (t)) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $\frac{2}{t}$ e $\ln (t)$ .

$t \frac{2 \ln (t)}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.2.2

Combine $t$ e $\frac{2 \ln (t)}{t}$ .

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.2.3.2

Divida $2 \ln (t)$ por $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \cdot 1$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $\ln^{2} (t)$ por $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t)$

Etapa 4.4.2

Reordene os termos.

$\ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$