Cálculo Exemplos

$y = \ln (t^{\frac{3}{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7

Combine $\frac{3}{2}$ e $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 8

Multiplique $\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Mova $2$ para a esquerda de $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot t^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{3}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1

Multiplique $t^{\frac{3}{2}}$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.1.1

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3}{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2 t^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Etapa 10.1.4

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{3}{2 t^{1}}$

Etapa 10.2

Simplifique $2 t^{1}$ .

$\frac{3}{2 t}$