Cálculo Exemplos

$\frac{2 u}{u^{2} + 3}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $\frac{2 u}{u^{2} + 3}$ em relação a $u$ é $2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{u^{2} + 3}]$ .

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{u^{2} + 3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ é $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , em que $f (u) = u$ e $g (u) = u^{2} + 3$ .

$2 \frac{(u^{2} + 3) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 3]}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(u^{2} + 3) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 3]}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $u^{2} + 3$ por $1$ .

$2 \frac{u^{2} + 3 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 3]}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u^{2} + 3$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [3]$ .

$2 \frac{u^{2} + 3 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [3])}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{u^{2} + 3 - u (2 u + \frac{d}{d u} [3])}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $3$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $3$ em relação a $u$ é $0$ .

$2 \frac{u^{2} + 3 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2 u$ e $0$ .

$2 \frac{u^{2} + 3 - u (2 u)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{u^{2} + 3 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 8

Subtraia $2 u^{2}$ de $u^{2}$ .

$2 \frac{- u^{2} + 3}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 9

Combine $2$ e $\frac{- u^{2} + 3}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- u^{2} + 3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- u^{2}) + 2 \cdot 3}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 u^{2} + 2 \cdot 3}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- 2 u^{2} + 6}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.3

Fatore $2$ de $- 2 u^{2} + 6$ .

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Etapa 10.3.1

Fatore $2$ de $- 2 u^{2}$ .

$\frac{2 (- u^{2}) + 6}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.3.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (- u^{2}) + 2 (3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.3.3

Fatore $2$ de $2 (- u^{2}) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (- u^{2} + 3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.4

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$\frac{2 (- (u^{2}) + 3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.5

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (u^{2}) - 1 (- 3))}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.6

Fatore $- 1$ de $- (u^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (u^{2} - 3))}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.7

Reescreva $- (u^{2} - 3)$ como $- 1 (u^{2} - 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (u^{2} - 3))}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 10.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (u^{2} - 3)}{{(u^{2} + 3)}^{2}}$