Cálculo Exemplos

$y = \frac{5 - v^{2}}{5 + v^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ é $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ , em que $f (v) = 5 - v^{2}$ e $g (v) = 5 + v^{2}$ .

$\frac{(5 + v^{2}) \frac{d}{d v} [5 - v^{2}] - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - v^{2}$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $5$ em relação a $v$ é $0$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) \frac{d}{d v} [- v^{2}] - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- v^{2}$ em relação a $v$ é $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- (2 v)) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + v^{2}$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $5$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $5$ em relação a $v$ é $0$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (2 v)}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - 2 (5 - v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 (5 - v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 2 \cdot 5 - 2 (- v^{2})) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 10 v + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 10 v - 2 v^{2} v - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $v^{2}$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.3.1

Mova $v$ .

$\frac{- 10 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3.2

Multiplique $v$ por $v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.3.2.1

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{- 10 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 10 v - 2 v^{1 + 2} - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $v^{2}$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.5.1

Mova $v$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- (v \cdot v^{2}))}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.2

Multiplique $v$ por $v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.5.2.1

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- (v^{1} v^{2}))}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{1 + 2})}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{3})}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v + 2 v^{3}}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos opostos em $- 10 v - 2 v^{3} - 10 v + 2 v^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Some $- 2 v^{3}$ e $2 v^{3}$ .

$\frac{- 10 v - 10 v + 0}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Some $- 10 v - 10 v$ e $0$ .

$\frac{- 10 v - 10 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $10 v$ de $- 10 v$ .

$\frac{- 20 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$