Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{8}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{8}$ e $g (w) = \frac{1}{w^{3} - 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{8}] \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$8 {u_{1}}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Etapa 2

Reescreva $\frac{1}{w^{3} - 1}$ como ${(w^{3} - 1)}^{- 1}$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [{(w^{3} - 1)}^{- 1}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{- 1}$ e $g (w) = w^{3} - 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w^{3} - 1$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $- 1$ em relação a $w$ é $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + 0))$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Some $3 w^{2}$ e $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2}))$

Etapa 4.5.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(w^{3} - 1)}^{- 2}$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (3 \cdot {(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

Etapa 4.5.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Etapa 5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$- 24 \frac{1^{7}}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Etapa 5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 24 \frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Etapa 5.3.2

Combine $- 24$ e $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$\frac{- 24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Etapa 5.3.4

Combine $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ e $w^{2}$ .

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} \cdot \frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $\frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ por $\frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2} {(w^{3} - 1)}^{7}}$

Etapa 5.3.6

Multiplique ${(w^{3} - 1)}^{2}$ por ${(w^{3} - 1)}^{7}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2 + 7}}$

Etapa 5.3.6.2

Some $2$ e $7$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

Etapa 5.3.7

Mova $24$ para a esquerda de $w^{2}$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

Etapa 5.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1^{3})}^{9}}$

Etapa 5.4.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = w$ e $b = 1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2}))}^{9}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique.

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Etapa 5.4.3.1

Multiplique $w$ por $1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2}))}^{9}}$

Etapa 5.4.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1))}^{9}}$

Etapa 5.4.4

Aplique a regra do produto a $(w - 1) (w^{2} + w + 1)$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w - 1)}^{9} {(w^{2} + w + 1)}^{9}}$