Cálculo Exemplos

$g (t) = t^{2} - \frac{9}{t^{3}}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - \frac{9}{t^{3}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{9}{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{9}{t^{3}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- \frac{9}{t^{3}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{9}{t^{3}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{9}{t^{3}}$ em relação a $t$ é $- 9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ .

$2 t - 9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{t^{3}}$ como ${(t^{3})}^{- 1}$ .

$2 t - 9 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{3}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{3}$ .

$2 t - 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 t - 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{3}$ .

$2 t - 9 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 t - 9 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2}))$

Etapa 2.5

Multiplique os expoentes em ${(t^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 t - 9 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2}))$

Etapa 2.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$2 t - 9 (- t^{- 6} (3 t^{2}))$

Etapa 2.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 t - 9 (- 3 t^{- 6} t^{2})$

Etapa 2.7

Multiplique $t^{- 6}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.7.1

Mova $t^{2}$ .

$2 t - 9 (- 3 (t^{2} t^{- 6}))$

Etapa 2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 t - 9 (- 3 t^{2 - 6})$

Etapa 2.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$2 t - 9 (- 3 t^{- 4})$

Etapa 2.8

Multiplique $- 3$ por $- 9$ .

$2 t + 27 t^{- 4}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 t + 27 \frac{1}{t^{4}}$

Etapa 3.2

Combine $27$ e $\frac{1}{t^{4}}$ .

$2 t + \frac{27}{t^{4}}$