Cálculo Exemplos

$\ln (t + 1) - 0.5 t$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (t + 1) - 0.5 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 1$ .

$\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{t + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Etapa 2.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{t + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{1}{t + 1}$ por $1$ .

$\frac{1}{t + 1} + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 0.5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.5 t$ em relação a $t$ é $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 0.5$ por $1$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5$

Etapa 4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para escrever $- 0.5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

Etapa 4.2

Combine $- 0.5$ e $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{1}{t + 1} + \frac{- 0.5 (t + 1)}{t + 1}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 0.5 (t + 1)}{t + 1}$