Cálculo Exemplos

$f (t) = 5 t^{5} + \sqrt{t^{3}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 t^{5} + \sqrt{t^{3}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5 t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [5 t^{5}]$ .

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Etapa 2.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t^{5}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Etapa 2.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$25 t^{4} + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t^{3}}$ como $t^{\frac{3}{2}}$ .

$25 t^{4} + \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}$

Etapa 3.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4

Combine $\frac{3}{2}$ e $t^{\frac{1}{2}}$ .

$25 t^{4} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$