Cálculo Exemplos

$g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2} (3 t^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Etapa 1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2}$ e $g (t) = t^{2}$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 2 t^{2} - 1$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{2} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{2}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Etapa 5.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Etapa 5.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + 0)))$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.1

Some $4 t$ e $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t)))$

Etapa 5.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (8 (2 t^{2} - 1) t))$

Etapa 6

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $t$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t \cdot t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Etapa 6.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1} t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Etapa 6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1 + 2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Etapa 6.3

Some $1$ e $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2}) + 8 \cdot - 1))$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2})) + t^{3} (8 \cdot - 1))$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Etapa 7.4

Combine os termos.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{3} (16 t^{2})) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Etapa 7.4.3

Multiplique $t^{3}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.3.1

Mova $t^{2}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Etapa 7.4.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Etapa 7.4.3.3

Some $2$ e $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Etapa 7.4.4

Mova $16$ para a esquerda de $t^{5}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (16 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Etapa 7.4.5

Multiplique $16$ por $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Etapa 7.4.6

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 8)$

Etapa 7.4.7

Mova $- 8$ para a esquerda de $t^{3}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (- 8 \cdot t^{3})$

Etapa 7.4.8

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} - 24 t^{3}$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t {(2 t^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 7.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.6.1

Reescreva ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ como $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t ((2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1))$

Etapa 7.6.2

Expanda $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2} - 1) - 1 (2 t^{2} - 1))$

Etapa 7.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2} - 1))$

Etapa 7.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Etapa 7.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.6.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Etapa 7.6.3.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.6.3.1.2.1

Mova $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 (t^{2} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Etapa 7.6.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Etapa 7.6.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Etapa 7.6.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Etapa 7.6.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Etapa 7.6.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} - 1 \cdot - 1)$

Etapa 7.6.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} + 1)$

Etapa 7.6.3.2

Subtraia $2 t^{2}$ de $- 2 t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 4 t^{2} + 1)$

Etapa 7.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4}) + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Etapa 7.6.5

Simplifique.

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Etapa 7.6.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Etapa 7.6.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 1$

Etapa 7.6.5.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Etapa 7.6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.6.6.1

Multiplique $t$ por $t^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.6.6.1.1

Mova $t^{4}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Etapa 7.6.6.1.2

Multiplique $t^{4}$ por $t$ .

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Etapa 7.6.6.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Etapa 7.6.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Etapa 7.6.6.1.3

Some $4$ e $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Etapa 7.6.6.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Etapa 7.6.6.3

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.6.6.3.1

Mova $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t) + 6 t$

Etapa 7.6.6.3.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

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Etapa 7.6.6.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t^{1}) + 6 t$

Etapa 7.6.6.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{2 + 1} + 6 t$

Etapa 7.6.6.3.3

Some $2$ e $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{3} + 6 t$

Etapa 7.6.6.4

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t$

Etapa 7.7

Some $48 t^{5}$ e $24 t^{5}$ .

$72 t^{5} - 24 t^{3} - 24 t^{3} + 6 t$

Etapa 7.8

Subtraia $24 t^{3}$ de $- 24 t^{3}$ .

$72 t^{5} - 48 t^{3} + 6 t$