Cálculo Exemplos

$- \cot (t - e^{- t})$

Etapa 1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \cot (t - e^{- t})$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$ .

$- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cot (t)$ e $g (t) = t - e^{- t}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $t - e^{- t}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\cot (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t - e^{- t}$ .

$- (- \csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Etapa 3.2

Multiplique $\csc^{2} (t - e^{- t})$ por $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - e^{- t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- e^{- t}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- t$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]))$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- t$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.2

Multiplique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + 1 e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5.2.2

Multiplique $e^{- t}$ por $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot 1)$

Etapa 5.4

Multiplique $e^{- t}$ por $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t})$