Cálculo Exemplos

$9 t e^{- \frac{t}{10}}$

Etapa 1

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t e^{- \frac{t}{10}}$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{10}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- \frac{t}{10}}$ .

$9 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}] + e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - \frac{t}{10}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{t}{10}$ .

$9 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]) + e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$9 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]) + e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{t}{10}$ .

$9 (t (e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]) + e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- \frac{1}{10}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{t}{10}$ em relação a $t$ é $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 (t (e^{- \frac{t}{10}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine $e^{- \frac{t}{10}}$ e $\frac{1}{10}$ .

$9 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.2.2

Combine $t$ e $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10}$ .

$9 (- \frac{t e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 (- \frac{t e^{- \frac{t}{10}}}{10} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 (- \frac{t e^{- \frac{t}{10}}}{10} + e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 (- \frac{t e^{- \frac{t}{10}}}{10} + e^{- \frac{t}{10}} \cdot 1)$

Etapa 4.6

Multiplique $e^{- \frac{t}{10}}$ por $1$ .

$9 (- \frac{t e^{- \frac{t}{10}}}{10} + e^{- \frac{t}{10}})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 (- \frac{t e^{- \frac{t}{10}}}{10}) + 9 e^{- \frac{t}{10}}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 \frac{t e^{- \frac{t}{10}}}{10} + 9 e^{- \frac{t}{10}}$

Etapa 5.2.2

Combine $- 9$ e $\frac{t e^{- \frac{t}{10}}}{10}$ .

$\frac{- 9 (t e^{- \frac{t}{10}})}{10} + 9 e^{- \frac{t}{10}}$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9 t e^{- \frac{t}{10}}}{10} + 9 e^{- \frac{t}{10}}$