Cálculo Exemplos

$a (1 - e^{- k t}) + b$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a (1 - e^{- k t}) + b$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ .

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ .

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Etapa 2.1

Como $a$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $a (1 - e^{- k t})$ em relação a $t$ é $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ .

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - e^{- k t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ .

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- e^{- k t}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ .

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - k t$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- k t$ .

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- k t$ .

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.6

Como $- k$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- k t$ em relação a $t$ é $- k \frac{d}{d t} [t]$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.10

Multiplique $e^{- k t}$ por $1$ .

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 2.11

Some $0$ e $e^{- k t} k$ .

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

Etapa 3

Como $b$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $b$ em relação a $t$ é $0$ .

$a e^{- k t} k + 0$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Some $a e^{- k t} k$ e $0$ .

$a e^{- k t} k$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $a e^{- k t} k$ .

$e^{- k t} a k$

Etapa 4.3

Reordene os fatores em $e^{- k t} a k$ .

$a k e^{- k t}$