Cálculo Exemplos

$10 t^{2} \cdot 2^{- t}$

Etapa 1

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10 t^{2} \cdot 2^{- t}$ em relação a $t$ é $10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 2^{- t}$ .

$10 (t^{2} \frac{d}{d t} [2^{- t}] + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = 2^{t}$ e $g (t) = - t$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- t$ .

$10 (t^{2} (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$10 (t^{2} (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- \frac{d}{d t} [t])) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- 1 \cdot 1)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \cdot - 1) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $2^{- t} \ln (2)$ .

$10 (t^{2} (- 1 \cdot (2^{- t} \ln (2))) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.3.3

Reescreva $- 1 \cdot 2^{- t}$ como $- 2^{- t}$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} (2 t))$

Etapa 5

Multiplique $2^{- t}$ por $2$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2 \cdot 2^{- t} t)$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $2^{- t}$ .

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Etapa 5.2.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1} \cdot 2^{- t} t)$

Etapa 5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1 - t} t)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2))) + 10 (2^{1 - t} t)$

Etapa 6.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 t^{2} (2^{- t} \ln (2)) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Etapa 6.4

Reordene os fatores em $- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$ .

$- 10 t^{2} \cdot 2^{- t} \ln (2) + 10 t \cdot 2^{1 - t}$