Cálculo Exemplos

$\sqrt[3]{t} (8 - t)$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}} (8 - t)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ e $g (t) = 8 - t$ .

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [8 - t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.2

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8$ em relação a $t$ é $0$ .

$t^{\frac{1}{3}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [- t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{\frac{1}{3}} (- \frac{d}{d t} [t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 1) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$t^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t^{\frac{1}{3}}$ .

$- 1 \cdot t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.6.3

Reescreva $- 1 t^{\frac{1}{3}}$ como $- t^{\frac{1}{3}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 10

Mova $t^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- t^{\frac{1}{3}} + 8 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.2

Combine $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ e $t$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.3

Mova $t^{\frac{2}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.2.4

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.2.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 11.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3}$

Etapa 11.2.4.4

Subtraia $2$ de $3$ .

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 11.2.5

Para escrever $- t^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.6

Combine $- t^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.9

Subtraia $t^{\frac{1}{3}}$ de $- 3 t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.3

Reordene os termos.

$\frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$