Cálculo Exemplos

$- 6 t {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Etapa 1

Como $- 6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 6 t {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ em relação a $t$ é $- 6 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{4} - 1)}^{4}]$ .

$- 6 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{4} - 1)}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ .

$- 6 (t \frac{d}{d t} [{(5 t^{4} - 1)}^{4}] + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 5 t^{4} - 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 t^{4} - 1$ .

$- 6 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 6 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 t^{4} - 1$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 t^{4} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.2

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t^{4}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (5 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (5 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3} + 0)) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $20 t^{3}$ e $0$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3})) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.6.2

Multiplique $20$ por $4$ .

$- 6 (t (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3} t^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- 6 (t^{3} t^{1} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 (t^{3 + 1} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 7

Some $3$ e $1$ .

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \cdot 1)$

Etapa 9

Multiplique ${(5 t^{4} - 1)}^{4}$ por $1$ .

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3})) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Etapa 10.2

Multiplique $80$ por $- 6$ .

$- 480 (t^{4} ({(5 t^{4} - 1)}^{3})) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Etapa 10.3

Fatore $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ de $- 480 t^{4} {(5 t^{4} - 1)}^{3} - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ .

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Etapa 10.3.1

Fatore $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ de $- 480 t^{4} {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ .

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Etapa 10.3.2

Fatore $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ de $- 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ .

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) + 6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- (5 t^{4} - 1))$

Etapa 10.3.3

Fatore $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ de $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) + 6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- (5 t^{4} - 1))$ .

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4} - (5 t^{4} - 1))$