Cálculo Exemplos

$500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ .

$\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [500 t]$ .

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Etapa 2.1

Como $500$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $500 t$ em relação a $t$ é $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Etapa 2.3

Multiplique $500$ por $1$ .

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{4200}{π}$ e $\sin (\frac{π t}{12})$ .

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}]$

Etapa 3.2

Como $\frac{4200}{π}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}$ em relação a $t$ é $\frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$ .

$500 + \frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{π t}{12}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π t}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π t}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Etapa 3.4

Como $\frac{π}{12}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{π t}{12}$ em relação a $t$ é $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Etapa 3.6

Multiplique $\frac{π}{12}$ por $1$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{π}{12})$

Etapa 3.7

Combine $\cos (\frac{π t}{12})$ e $\frac{π}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} \cdot \frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$

Etapa 3.8

Multiplique $\frac{4200}{π}$ por $\frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$ .

$500 + \frac{4200 (\cos (\frac{π t}{12}) π)}{π \cdot 12}$

Etapa 3.9

Mova $12$ para a esquerda de $π$ .

$500 + \frac{4200 \cos (\frac{π t}{12}) π}{12 \cdot π}$

Etapa 3.10

Cancele o fator comum de $4200$ e $12$ .

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Etapa 3.10.1

Fatore $12$ de $4200 \cos (\frac{π t}{12}) π$ .

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

Etapa 3.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.10.2.1

Fatore $12$ de $12 π$ .

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 (π)}$

Etapa 3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

Etapa 3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

Etapa 3.11

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.11.1

Cancele o fator comum.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

Etapa 3.11.2

Divida $350 \cos (\frac{π t}{12})$ por $1$ .

$500 + 350 \cos (\frac{π t}{12})$