Cálculo Exemplos

$\frac{x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ e $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 12 x^{2}] - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 12 x^{2}] - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 12 x^{2}] - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 12 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 2.4

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 12 (2 x)) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - (x^{4} - 12 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - (x^{4} - 12 x^{2}) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 4.2

Fatore $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x)$ .

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x)) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 4.2.2

Fatore $x^{2} - 4$ de $- 2 (x^{4} - 12 x^{2}) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x)) + (x^{2} - 4) (- 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 4.2.3

Fatore $x^{2} - 4$ de $(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x)) + (x^{2} - 4) (- 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))$ .

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 4 (x^{4} - 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 12 x^{2})) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.1.1

Expanda $(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 24 x) - 4 (4 x^{3} - 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3} - 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.3.1.2.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{2} x - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 10.3.1.2.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 10.3.1.2.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 (x^{1} x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{1 + 2} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.5

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{3} - 16 x^{3} - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.1.6

Multiplique $- 24$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{3} - 16 x^{3} + 96 x - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.2.2

Subtraia $16 x^{3}$ de $- 24 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.3

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 10.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 10.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.3.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 10.3.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.1.5

Multiplique $- 12$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} + 48 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.2

Combine os termos opostos em $4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} + 48 x^{3}$ .

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Etapa 10.3.2.1

Subtraia $4 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{- 40 x^{3} + 96 x + 0 + 48 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.2.2

Some $- 40 x^{3} + 96 x$ e $0$ .

$\frac{- 40 x^{3} + 96 x + 48 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.3.3

Some $- 40 x^{3}$ e $48 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.4

Fatore $8 x$ de $8 x^{3} + 96 x$ .

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Etapa 10.4.1

Fatore $8 x$ de $8 x^{3}$ .

$\frac{8 x (x^{2}) + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.4.2

Fatore $8 x$ de $96 x$ .

$\frac{8 x (x^{2}) + 8 x (12)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.4.3

Fatore $8 x$ de $8 x (x^{2}) + 8 x (12)$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Etapa 10.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{3}}$

Etapa 10.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}$

Etapa 10.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$