Cálculo Exemplos

$\frac{x^{4}}{1 - x^{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 1 - x^{3}$ .

$\frac{(1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{(1 - x^{3}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 2.2

Mova $4$ para a esquerda de $1 - x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + 1 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{4} (3 x^{2})}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{2} x^{4} \cdot 3}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{2 + 4} \cdot 3}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $2$ e $4$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{6} \cdot 3}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 4

Mova $3$ para a esquerda de $x^{6}$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + 3 \cdot x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 \cdot 1 + 4 (- x^{3})) x^{3} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \cdot 1 x^{3} + 4 (- x^{3}) x^{3} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (- x^{3}) x^{3} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (- (x^{3} x^{3})) + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{3} + 4 (- x^{3 + 3}) + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.3

Some $3$ e $3$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (- x^{6}) + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{6} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Some $- 4 x^{6}$ e $3 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{6} + 4 x^{3}}{{(- x^{3} + 1)}^{2}}$