Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} - 1}{x - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} - 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - (x^{3} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} - (x^{3} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - (x^{3} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} - x^{3} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} - x^{3} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$