Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} + 27}{x^{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} + 27$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.4

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2 + 3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3

Some $2$ e $3$ .

$\frac{x^{5} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4

Mova $3$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3 x^{5} - (x^{3} + 27) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{3} + 27) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{5} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot 27) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{2} x^{3}) - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{2 + 3} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.1.1.3

Some $2$ e $3$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $27$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.2

Subtraia $3 x^{5}$ de $3 x^{5}$ .

$\frac{0 - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.3.3

Subtraia $81 x^{2}$ de $0$ .

$\frac{- 81 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.4

Combine os termos.

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Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Etapa 7.4.1.1

Fatore $x^{2}$ de $- 81 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{6}}$

Etapa 7.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.4.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 7.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 7.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 81}{x^{4}}$

Etapa 7.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{81}{x^{4}}$