Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3}}{9} \cdot (3 \ln (x - 1))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Combine $3$ e $\frac{x^{3}}{9}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3}}{9} \cdot \ln (x - 1)]$

Etapa 1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.1

Combine $\frac{3 x^{3}}{9}$ e $\ln (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} \ln (x - 1)}{9}]$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{3} \ln (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{9}]$

Etapa 1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Etapa 1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Etapa 1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}]$

Etapa 1.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x - 1)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{x - 1}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.5.2

Multiplique $\frac{x^{3}}{x - 1}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) (3 x^{2}))$

Etapa 5

Para escrever $\ln (x - 1) (3 x^{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \frac{\ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1})$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 7

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$ .

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{3} + 3 \ln (x - 1) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2.1.2

Simplifique $3 \ln (x - 1)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} x + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.2.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x \cdot x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 8.2.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x^{1} x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{1 + 2} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2.1.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - 1 \cdot (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2.1.6

Reescreva $- 1 (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ como $- (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.2.2

Reordene os fatores em $x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Etapa 8.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x - 3}$