Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 49$ .

$\frac{(x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 49) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 2.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 49$ .

$\frac{3 \cdot (x^{2} - 49) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$\frac{3 (x^{2} - 49) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49])}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 (x^{2} - 49) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 49])}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 49$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 49) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 49) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 49) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 49) x^{2} - 2 (x^{1} x^{3})}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 (x^{2} - 49) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 5

Some $1$ e $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 49) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 49) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 49 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 49 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 49 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot - 49 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $3$ por $- 49$ .

$\frac{3 x^{4} - 147 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.3.2

Subtraia $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 147 x^{2}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 147 x^{2}$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 147 x^{2}}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.4.2

Fatore $x^{2}$ de $- 147 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 147}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.4.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 147$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 147)}{{(x^{2} - 49)}^{2}}$

Etapa 6.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.5.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 147)}{{(x^{2} - 7^{2})}^{2}}$

Etapa 6.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 7$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 147)}{{((x + 7) (x - 7))}^{2}}$

Etapa 6.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 7) (x - 7)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 147)}{{(x + 7)}^{2} {(x - 7)}^{2}}$