Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ como ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5 x + 6$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 3.6

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

Etapa 3.7

Some $2 x + 5$ e $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ .

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.6.1

Fatore $x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 4.6.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $5$ .

$2, 3$

Etapa 4.6.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x + 3)$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.7

Multiplique $- 2 x - 5$ por $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.9

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.10

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.11

Reescreva $- (2 x + 5)$ como $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$