Cálculo Exemplos

$\frac{3 x^{3} + 5}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{3} + 5$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5] - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{x (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 0) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.6

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (9 x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{9 (x^{1} x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 x^{1 + 2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5)}{x^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3}) - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 5}{x^{2}}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $3 x^{3}$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{6 x^{3} - 5}{x^{2}}$