Cálculo Exemplos

$\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 e^{x} - 8$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 e^{x} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + 0)}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Some $5 e^{x}$ e $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x} e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 7

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova $e^{x}$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 (e^{x} e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x + x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 7.3

Some $x$ e $x$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 8

Combine $3$ e $\frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$ .

$\frac{3 ((5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x} - 8 e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{3 (5 (e^{x} e^{x})) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 (5 e^{x + x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.3.1.1.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{3 (5 e^{2 x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.3.1.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.3.1.3

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.3.1.4

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.3.2

Combine os termos opostos em $15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Subtraia $15 e^{2 x}$ de $15 e^{2 x}$ .

$\frac{0 - 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.3.2.2

Subtraia $24 e^{x}$ de $0$ .

$\frac{- 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Etapa 9.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$