Cálculo Exemplos

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) - (2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) - (2 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) - (2 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) - 2 (2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2 (2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2 (2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 2 (2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 4 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} - 2 x + 2$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) - 2 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.5

Fatore $2$ de $2 (- x^{2} - x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x^{2} - x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) - x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) - (x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (x)$ .

$\frac{2 (- (x^{2} + x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x^{2} + x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.11

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x^{2} + x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.12

Reescreva $- (x^{2} + x - 1)$ como $- 1 (x^{2} + x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{2} + x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (x^{2} + x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$