Cálculo Exemplos

$\frac{11 x^{2} + 10 x - 9}{x + 9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 11 x^{2} + 10 x - 9$ e $g (x) = x + 9$ .

$\frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [11 x^{2} + 10 x - 9] - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $11 x^{2} + 10 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x + 9) (\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x^{2}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 9) (11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x + 9) (11 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $11$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $10$ por $1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + 0) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.9

Some $22 x + 10$ e $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.12

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9)}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(x + 9) (22 x + 10)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (22 x + 10) + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{22 x \cdot x + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{22 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{22 x^{2} + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Mova $10$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 \cdot x + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Multiplique $22$ por $9$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $9$ por $10$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Some $10 x$ e $198 x$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $11$ por $- 1$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $11 x^{2}$ de $22 x^{2}$ .

$\frac{11 x^{2} + 208 x + 90 - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Subtraia $10 x$ de $208 x$ .

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 90 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Some $90$ e $9$ .

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore $11$ de $11 x^{2} + 198 x + 99$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $11$ de $11 x^{2}$ .

$\frac{11 (x^{2}) + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Fatore $11$ de $198 x$ .

$\frac{11 (x^{2}) + 11 (18 x) + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Fatore $11$ de $99$ .

$\frac{11 x^{2} + 11 (18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Fatore $11$ de $11 x^{2} + 11 (18 x)$ .

$\frac{11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Fatore $11$ de $11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9$ .

$\frac{11 (x^{2} + 18 x + 9)}{{(x + 9)}^{2}}$