Cálculo Exemplos

$\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{2} (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (x) - (1 - \cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 4.4

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $x$ de $x^{2} \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{x (x \sin (x)) - 2 (1 - \cos (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (1 - \cos (x)) x$ .

$\frac{x (x \sin (x)) + x (- 2 (1 - \cos (x)))}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2.3

Fatore $x$ de $x (x \sin (x)) + x (- 2 (1 - \cos (x)))$ .

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x^{4}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x))}{x^{3}}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \cos (x))}{x^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x \sin (x) - 2 - 2 (- \cos (x))}{x^{3}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x \sin (x) - 2 + 2 \cos (x)}{x^{3}}$