Cálculo Exemplos

$\frac{2 x^{2} - 8}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x^{2} - 8$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8] - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} - 16$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $4$ por $- 16$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Combine os termos opostos em $4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Subtraia $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{- 64 x + 0 + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Some $- 64 x$ e $0$ .

$\frac{- 64 x + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Some $- 64 x$ e $16 x$ .

$\frac{- 48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.7.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$- \frac{48 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Etapa 3.7.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{48 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$