Cálculo Exemplos

$\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$

Etapa 1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{2 \cdot (4 e^{x} - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 e^{x} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 5.3

Combine frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Combine $7$ e $\frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 ((2 (4 e^{x}) + 2 (- x)) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{7 (8 e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.2

Multiplique $8$ por $7$ .

$\frac{56 (e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- (x \cdot x))) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- x^{2})) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (- 2 x^{2}) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.5

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.8

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 (x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.9

Multiplique $- x^{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.5.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 (1 x^{2})}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.1.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 x^{2}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.2

Some $- 14 x^{2}$ e $7 x^{2}$ .

$\frac{56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.5.3

Reordene os fatores em $56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{56 x e^{x} - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.6

Reordene os termos.

$\frac{- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.7.1

Fatore $7 x$ de $- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}$ .

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Etapa 6.7.1.1

Fatore $7 x$ de $- 7 x^{2}$ .

$\frac{7 x (- x) + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.7.1.2

Fatore $7 x$ de $56 e^{x} x$ .

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.7.1.3

Fatore $7 x$ de $- 28 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.7.1.4

Fatore $7 x$ de $7 x (- x) + 7 x (8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.7.1.5

Fatore $7 x$ de $7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)$ .

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x} - 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.7.2

Reordene os termos.

$\frac{7 x (- 4 e^{x} x - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.8

Fatore $- 1$ de $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.9

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - (x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.10

Fatore $- 1$ de $- (4 e^{x} x) - (x)$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.11

Fatore $- 1$ de $8 e^{x}$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.12

Fatore $- 1$ de $- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.13

Reescreva $- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ como $- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ .

$\frac{7 x (- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.15

Reordene os fatores em $- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{7 x (4 x e^{x} + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$