Cálculo Exemplos

${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 6.3

Mova ${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 8

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{- 3}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (9 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 10

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 11

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 13

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Etapa 14

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 + 0)$

Etapa 15

Some $- 27 x^{- 4} - 5$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5)$

Etapa 16

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 \frac{1}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5)$

Etapa 17

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 \frac{1}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 \frac{1}{x^{4}} - 5)$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Combine os termos.

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Etapa 18.1.1

Combine $9$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 \frac{1}{x^{4}} - 5)$

Etapa 18.1.2

Combine $- 27$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{- 27}{x^{4}} - 5)$

Etapa 18.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{27}{x^{4}} - 5)$

Etapa 18.2

Reordene os fatores de $\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{27}{x^{4}} - 5)$ .

$(- \frac{27}{x^{4}} - 5) \frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}}$