Cálculo Exemplos

${\sec (2 x)}^{\cos (2 x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${\sec (2 x)}^{\cos (2 x)}$ como $e^{\ln ({\sec (2 x)}^{\cos (2 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sec (2 x)}^{\cos (2 x)})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\sec (2 x)}^{\cos (2 x)})$ movendo $\cos (2 x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (2 x) \ln (\sec (2 x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sec (2 x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (2 x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 5

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 6

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 7

Multiplique $\cos (2 x)$ por $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 8

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 9

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} ({\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 11

Some $1$ e $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 12.2

A derivada de $\sec (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 12.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 13

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 13.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 13.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 13.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cdot (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 14.2

A derivada de $\cos (u_{4})$ em relação a $u_{4}$ é $- \sin (u_{4})$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $2 x$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 15

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 15.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 15.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1))$

Etapa 15.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x)))$

Etapa 16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x)))$

Etapa 16.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))}$ .

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 16.3

Reordene os termos.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.1

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.2

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos^{2} (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)} \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.3

Cancele o fator comum de $\cos (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.3.1

Fatore $\cos (2 x)$ de $2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos^{2} (2 x)$ .

$\cos (2 x) (2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)} \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\cos (2 x) (2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)} \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.3.3

Reescreva a expressão.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x) \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.4

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.4.1

Adicione parênteses.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} (\cos (2 x) \tan (2 x)) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.4.2

Reordene $\cos (2 x)$ e $\tan (2 x)$ .

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} (\tan (2 x) \cos (2 x)) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.4.3

Reescreva $2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x) \tan (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cos (2 x)) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.4.4

Cancele os fatores comuns.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.5

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

Etapa 16.4.6

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})$

Etapa 16.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.5.1

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})$

Etapa 16.5.2

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})$

Etapa 16.5.3

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$